Fluxo máximo - push-relabel aprimorado

Modificaremos o método push-relabel para obter um melhor tempo de execução.

Descrição

A modificação é extremamente simples: no artigo anterior, escolhemos um vértice com excesso de fluxo sem nenhuma regra específica. Mas acontece que, se sempre escolhermos os vértices com a maior altura, e aplicarmos as operações "push" e "relabel" neles, a complexidade se tornará melhor. Além disso, para selecionar os vértices com a maior altura, na verdade não precisamos de nenhuma estrutura de dados, simplesmente armazenamos os vértices com a maior altura em uma lista e recalculamos a lista quando todos eles forem processados (assim, vértices com alturas mais baixas já serão adicionados à lista), ou sempre que um novo vértice com excesso e uma altura maior aparecer (depois de rotular novamente um vértice).

Apesar da simplicidade, essa modificação reduz muito a complexidade. Para ser preciso, a complexidade do algoritmo resultante é $O(V E + V^2 \sqrt{E})$, que no pior caso é $O(V^3)$.

Essa modificação foi proposta por Cheriyan e Maheshwari em 1989.

Implementação

const int inf = 1000000000;

int n;
vector<vector<int>> capacity, flow;
vector<int> height, excess;

void push(int u, int v)
{
    int d = min(excess[u], capacity[u][v] - flow[u][v]);
    flow[u][v] += d;
    flow[v][u] -= d;
    excess[u] -= d;
    excess[v] += d;
}

void relabel(int u)
{
    int d = inf;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (capacity[u][i] - flow[u][i] > 0)
            d = min(d, height[i]);
    }
    if (d < inf)
        height[u] = d + 1;
}

vector<int> find_max_height_vertices(int s, int t) {
    vector<int> max_height;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i != s && i != t && excess[i] > 0) {
            if (!max_height.empty() && height[i] > height[max_height[0]])
                max_height.clear();
            if (max_height.empty() || height[i] == height[max_height[0]])
                max_height.push_back(i);
        }
    }
    return max_height;
}

int max_flow(int s, int t)
{
    height.assign(n, 0);
    height[s] = n;
    flow.assign(n, vector<int>(n, 0));
    excess.assign(n, 0);
    excess[s] = inf;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i != s)
            push(s, i);
    }

    vector<int> current;
    while (!(current = find_max_height_vertices(s, t)).empty()) {
        for (int i : current) {
            bool pushed = false;
            for (int j = 0; j < n && excess[i]; j++) {
                if (capacity[i][j] - flow[i][j] > 0 && height[i] == height[j] + 1) {
                    push(i, j);
                    pushed = true;
                }
            }
            if (!pushed) {
                relabel(i);
                break;
            }
        }
    }

    int max_flow = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        max_flow += flow[0][i];
    return max_flow;
}