Teorema de Pick

"area of lattice polygons"

Um polígono sem auto-interseções é chamado "lattice" se todos os seus vértices tiverem coordenadas inteiras em algum grid 2D. O teorema de Pick fornece uma maneira de calcular a área desse polígono através do número de vértices que estão no limite e do número de vértices que estão estritamente dentro do polígono.

Fórmula

Dado um certo polígono(lattice polygon = um polígono construído sobre uma grade/grid de pontos, veja) com área diferente de zero.

Denotamos sua área por $S$, o número de pontos com coordenadas inteiras estritamente dentro do polígono por $I$ e o número de pontos nos lados do polígono por $B$.

Em seguida, a fórmula do Pick declara:

$$S=I+\frac{B}{2}-1$$

Em particular, se os valores de $I$ e $B$ para um polígono são fornecidos, a área pode ser calculada em $O(1)$ sem conhecer os vértices.

Esta fórmula foi descoberta e comprovada pelo matemático austríaco Georg Alexander Pick em 1899.

Prova

A prova é realizada em várias etapas: de polígonos simples a arbitrários:

Generalização para dimensões superiores

Infelizmente, esta fórmula simples e bonita não pode ser generalizada para dimensões superiores.

John Reeve demonstrou isso propondo um tetraedro (tetraedro de Reeve) com os seguintes vértices em 1957:

$$A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(1,1,k),$$

onde $k$ pode ser qualquer número natural. Então, para qualquer $k$, o tetraedro $ABCD$ não contém um número inteiro dentro e possui apenas $4$ pontos em suas bordas, $A, B, C, D$. Assim, o volume e a área de superfície podem variar, apesar do número inalterado de pontos dentro e no limite. Portanto, o teorema de Pick não permite generalizações.

No entanto, as dimensões mais altas ainda têm uma generalização usando os polinômios de Ehrhart mas são bastante complexas e dependem não apenas dos pontos internos.

Recursos

Alguns exemplos simples e uma prova simples do teorema de Pick podem ser encontrados aqui.